TUGAS MATEMATIKA DISKRIT PERTEMUAN 4,5,6

TUGAS PERTEMUAN 4  KOMBINATORIAL

Soal 1

Latihan :

            1.      Empat buah ujian dilakukan dalam periode enam hari. Berapa banyak pengaturan jadwal yang dapat dilakukan sehingga tidak ada dua ujian atau lebih yang dilakukan pada hari yang sama.

2. Berapa banyak string yang dapat dibentuk yang terdiri dan 4 huruf berbeda dan 3 angka yang berbeda pula ?

            3.      Berapakah jumlah kemungkinan membentuk 3 angka dari 5 angka berikut : 1,2,3,4,5 jika

      i.  Tidak boleh ada pengulangan angka

            ii. Boleh ada pengulangan angka

            4.      String biner yang panjangnya 32 bit disusun oleh digit 1 dan 0. berapa banyak string biner yang tepat berisi 7 buah bit 1 ?

            5.      Sebuah karakter dalam sistem ASCII berukuran 1 byte atau 8 bit ( 1 atau 0)

a)      Berapa banyak pola bit terbentuk ? (atau berapa banyak karakter yang dapat dipresentasikan ?)

b)      Berapa banyak pola bit yang mempunyai 3 bit 1 ?

c)      Berapa banyak pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap ?

            6.      Suatu penitia akan dibentuk dengan 5 orang. Berapa carakah pembentukan panitia tersebut dapat dialkukan jika calon anggota terdiri dari 4 orang pria dan 3 orang wanita dan panitia harus

a)      Terbentuk tanpa persyaratan lain

b)      terdiri 3 pria dan 2 wanita

c)      Terdiri 2 pria dan 3 wanita

Jawaban :

            1. P (6,4) = 6!/(6-4) = 360

            2. P (26,4) = 26!/(26-4) = 650

                P (10,3) = 10!/(10-3) = 720

            3. i. dengan kaidah perkalian (5)(4)(3) = 60

                   Dengan rumus permutasi P (5,3) 5!/(5-3) = 60

   ii. tidak bisa dengan rumus permutasi

       dengan kaidah perkalian (5)(5)(5) = 5^{3 =} 125

4. C(32,7) = 3.365.856

5.  a. Karakter ASCII dalam urutan 0,1,2,3,4,5,6,7

                         Posisi 0 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)

                         Posisi 1 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)

                         Posisi 2 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)

                         .....

                         Posisi 7 dapat diisi dengan 2 cara (1 atau 0)

                         Semua posisi harus diisi, jadi jumlah pola bit yang terbentuk

                         = 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 = 2^8

                     b. Kombinasi dari delapan dengan tiga atau C(n,r) = n!

                         dengan r!(n-r)!

                          C (8,3) = 8!/3!(8-3)! =  56

                     c. Banyaknya pola bit yang mempunyai 0 buah bit 1 = C(8,0)

                         Banyaknya pola bit yang mempunyai 2 buah bit 1 = C(8,2)

                         Banyaknya pola bit yang mempunyai 4 buah bit 1 = C(8,4)

                         Banyaknya pola bit yang mempunyai 6 buah bit 1 = C(8,6)

 Maka banyak pola bit yang mempunyai bit 1 sejumlah genap = C(8,0) + C(8,2) + C(8,4) + C(8,6) = 40320 + 28 + 70 + 20160 = 60578

6.     a. Karena tidak ada persyaratan yang lain

                        jika semua pria dan wantita ditentukan menjadi panitia.

                        C(4,4) + C(3,1) = 4!/0!.4! + 3!/2!.1!

                        = 1 + 3 = 4 cara

                    b. C(4,3) + C(3,2) = 4!/3!.1! + 3!/1!.2! = 4 + 3 = 7 cara

                    c.  C(4,2) + C(3,3) = 4!/2!.2! + 3!/0!.3! = 6 + 1 = 7 cara

  

MULTIPLE CHOICE

1. Kaidah dasar perhitungan yaitu penjumlahan dan perkalian digunakan dalam

a. Kombinatorial                   d. Relasi

b. Permutasi                            e. Induksi matematika

c. Kombinasi

2. Suatu pengurutan data dimana urutan tidak diperhatikan adalah definisi .....

a. Permutasi                             d. Relasi

b. Kombinasi                         e. Fungsi

c. Himpunan

3. Penyusunan obyek dimana sebagian obyek sama disebut dengan .....

a. Permutasi bentuk umum                 d. Permutasi perulangan

b. Kombinasi bentuk umum    e. a dan b benar

c. Kombinasi perulangan       

4. Hasil perhitungan dari P(8,3) adalah ....

a. 6720       b. 240              c. 336              d. 520      e. 56

5. Hasil perhitungan dari C((6,3)C(4,2) adalah ....

a. 2     b. 6      c. 1440        d. 120      e. 144

TUGAS PERTEMUAN 5 LOGIKA DAN PROPORSI

Jika implikasi: p → q

Maka: Konversnya: q → p

Inversnya: ~ p → ~ q

Kontrapositipnya: ~ q → ~ p

Contoh:

Tentukan konvers ,invers, dan kontra positif dari proposisi berikut:

Jika MsWord aplikatifnya maka windows system operasinya

Contoh 1 :

Selidiki apakah ke dua proposisi di bawah ini setara:

1.Tidak benar bahwa system bilangan biner dipergunakan dalam system digital atau system digital hanya dapat mengasumsikan nilai yang berlainan.

2.Sistem bilangan biner tidak dipergunakan dalam system digital dan tidak benar bahwa system digital hanya dapat mengasumsikan nilai yang berlaianan.

(hint: buktikan: ~(p v q ) = ~ p ˄ ~ q ) 

Tugas : Beri argumen  dan tulis simbolnya :

a. Jika Harga  Gula naik, maka pabrik gula akan senang

Jika pabrik gula senang, maka petani tebu akan senang

Jadi , ......

b. Jika Lampu lalu lintas menyalah merah, maka semua kendaraan akan berhenti

Lampu lau lintas menyalah merah 

Jadi , ......

c. Program komputer ini memiliki bug, atau menginputnya salah

Inputnya tidak salah

Jadi, .....

d. Jika saya makan, maka saya akan kenyang

Saya tidak kenyang

Jadi, …

Jawab :

Jika implikasi: p → q : Jika MsWord aplikatifnya maka windows system operasinya

Maka: Konversnya: q → p: Jika windows system operasinya maka MsWord aplikatifnya

Inversnya: ~ p → ~ q : Bukan MsWord aplikatifnya maka bukan windows system operasinya

Kontrapositipnya: ~ q → ~ p  : Bukan windows system operasinya maka MsWord aplikatifnya

Jawaban :

Contoh 1

1. Tidak benar bahwa system bilangan biner dipergunakan dalam system digital (~p)

    Atau system digital hanya dapat mengasumsikan nilai yang berlainan ( v q )

2. Sistem bilangan biner tidak dipergunakan dalam system digital ( ~p )

    Dan tidak benar bahwa system digital hanya dapat mengasusmsikan nilai yang berlainan

     ( ˄ ~ q )

( Terbukti : ~(p v q ) = ~ p ˄ ~ q ) hukum de Morgan

Jawaban :

·           p : Jika Harga Gula naik, maka pabrik gula akan senang ( p → q )

         q : Jika pabrik gula senang, maka petani tebu akan senang (q → r )

          r : jadi, Jika harga gula naik, maka petani tebu akan senang ( ⸫ p → r )

·         p : Jika lampu lalu lintas merah, maka semua kendaraan akan berhenti ( p → q )

 q : Lampu lalu lintas menyala merah          ( p )

    : maka semua kendaraan akan berhenti   ( ⸫ p )

·         p : Program computer ini memiliki bug, atau menginputnya salah ( p v q )

 q : inputnya tidak salah ( ~ q )

    : jadi, program computer ini tidak memiliki bug ( ⸫ ~ p )

·         p : Jika saya makan, maka saya aka kenyang ( p → q )

 q : saya tidak kenyang ( ~ q )

   : jadi saya makan ( ⸫ ~ p )

MULTIPLE CHOICE

1. Suatu kalimat yang bernilai benar atau salah saja disebut…..

a. Deklarasi                                        

b. proposisi                                         

c. Pernyataan

d. disjungsi

e. Implikasi

2 p = hari ini saya kuliah matematika diskrit, jika dicari negasinya maka hasilnya……

a. Hari ini saya tidak kuliah matematika diskrit

b. Besok saya kuliah matematika diskrit

c. Saya kuliah matematika diskrit

d. Hari ini saya kuliah automata

e. semua salah

3.Jika p benar, q salah dan r benar, maka proposisi dibawah ini yang mempunyai nilai kebanaran ‘salah’ adalah……..

a. (p ˅ q) →r                          

b. (p ˄ ˅q) →r            

c. (p ˄ ~ q) ˅ r

d. (p ˅ q) → ~ r

e. (p ˅ q) ˅ r

4.Kumpulan pernyataan–pernyataan atau premis-premis atau dasar pendapat serta kesimpulan (konklusi) disebutdengan…..

a. Premisd.Proposisi

b. Argumen

c. Pernyataan

d. Proposisi

e. Validitas

            5. 1. Jika saya rajin belajar maka nilai saya bagus

    2. Saya rajin belajar

Dari dua argument di atas maka kesimpulan yang diperoleh yaitu……..

a. Nilai saya tidak bagus                     d. Saya rajin belajar

b. Saya tidak rajin belajar                   e. Semua benar

c. Nilai saya bagus

TUGAS PERTEMUAN 6 ALJABAR BOOLEAN

Soal 1 :

Buktikan bahwa untuk sembarang elemen a dan b dari aljabar Boolean:

(i)a+a’b=a+b

(ii)a(a’+b)=ab

(iii)a+1=1

(iv)(ab)’=a’+b’

Soal 2 :

Cari komplemen dari

1.f(x,y,z)=x’(yz’+y’z)

2.f(x)=x

3.f(x,y)=x’y+xy’+y’

4.f(x,y)=x’y’

5.f(x,y)=(x+y)’

6.f(x,y,z)=xyz’

Jawab:

(i). a+a'b=(a+ab)+a'b    penyerapan

              =a+(ab+a'b)    Asosiatif

              =a(a+a')b        Distributif

              =a+1.b            Komplemen

              =a+b               Identitas

(ii). a(a'+b)=aa'+ab      distributif

                  =0+ab        Komplemen

                  =ab            Identitas

(iii). a+1=a+(a+a')    Komplemen

              =(a+a)+a'    Asosiatif

              =a+a'           Idempoten

              =1               Komplemen

(iv). (ab)'=ab.a'+abb'      Dsitributif

              = 0.b+a.0          Komplemen

              = 0+0                Dominansi

              = 0                    Identitas

jawab:

1. f'(x,y,z)= (x'(yz'+y'z))'

                = x+(yz'+y'z)'

                = x+(yz')'(y'z)'

                = x+(y'+z(y+z')

2. f'(x)=x'

3. f'(x,y)=(x'y)+(xy'+y')

=(x+y')(x'+y)+y

4. f'(x,y)=(x+y)'

5. f'(x,y)=(x)(y)

6. f'( x,y,z)=x'+y'+z

MULTIPLE CHOICE

1. aljabar yang terdiri atas suatu himpunan dengan operasi jumlah/disjungsi, kali/konjungsi dan komplemen/negasi serta elemen 0 dan 1 disebut…..

a. pernyataan                                       d. Geometri

b. Aritmatika                                       e. Aljabar Boolean

c. Aljabar Real

2. Di bawahini yang merupakan hukum dominasi adalah……

a. a + 0 = a                                          d. a + 1 = 1

b. a.a= a                                               e. a.b= b.a

c. a + a’ = 1

3. Peubah dalam Boolean disebut dengan……

a. Relasi                                               d. Komplemen

b. Literal                                             e. Variabel

c. Fungsi

4. f(x,y) = x’y+ xy’+ y’ jika dicari komplemennya menjadi…..

a. f’(x,y) = (x+y’)(x’+y)y                   d. f’(x,y) = (x’ + y)(x+y’)y’

b. f’(x,y) = xy’ + x’y+ y                     e. Salah semua

c. f’(x,y) = x’y+ xy’ + y’

5. f(x,y) = x’y+ xy’+ y’ jika dicari bentuk dualnya menjadi…..

a. f’(x,y) = (x+y’)(x’+y)y                   d. f’(x,y) = (x’ + y)(x+y’)y’

b. f’(x,y) = xy’ + x’y+ y                     e. Salah semua

c. f’(x,y) = x’y+ xy’ + y’